Io gestirei i dati (0 spento, 1 acceso) come... una matrice!
Devi gestire 8 array (leggiti cos'è un array se non lo sai) per le 8 righe, ogni array ha 8 elementi, le 8 colonne.
Il modulo con il MAX7219 lo vendono già ma non ricordo adesso come la libreria gestisce la matrice, se puoi dargli fisicamente un array in pasto.
Dopodiché farei una funzione che raggruppa tutti i dati e "scrive" sul MAX7219, così la chiami nel momento in cui premi il pulsante.
Per la comunicazione Arduino / pagina WEB non saprei come fare, non l'ho mai fatto.