Deux choses : déjà pour le calcul de la résistance il faut savoir que le courant Ic conduit par un transistor est égale à Hfe x le courant envoyé à la base. Hfe est une constante qui varie beaucoup d'un transistor à l'autre, même sur un même modèle ! En général ça va de 50 à 300. Il faut donc d'abord déterminer le courant dont tes servos ont besoin. Si on dit 100 mA, et au pire des cas Hfe = 50 ça nous fait un courant de base Ib = 100/50 = 2 mA. A 5V (sortie arduino) R=U/R=5/(2/1000) = 2500 ohm. Perso je mets quasiment toujours 1k, en fait, une fois que le transistor est saturé, tu peux lui envoyé plus de courant dans la base ça ne changera rien, donc le seul facteur à surveiller c'est la sortie de l'arduino. En mettant 1k t'es quasiment sûr qu'à chaque fois tu vas être bon et ton arduino ne risque rien.
deuxième point : attention, les 2N2222 sont des transistors d'amplification de sinaux, il ne sont pas destinés à proprement parler à faire de la commande.