Hola, ese módulo gsm no es compatible con los puertos hardware serie del arduino MEGA, ya que quedan fuera de la conexión de la placa, digamos que es un módulo pensado para el formato del arduino UNO.
En el segundo sketch que has puesto está mal, defines 0 y 1 como softserial y no puedes usar softserial y serial hardware en el mismo puerto al mismo tiempo.
Puedes usar ese mismo sketch pero definiendo los pines como 7y8 donde el 7 debe corresponder con TX de tu placa gsm y el 8 con RX de tu placa, en la fotografía no aprecio bien a que corresponde cada uno.
Una alternativa para poder usar los puertos hardware del MEGA es usar unos puentes hasta el puerto en cuestion que vayas a usar, por ejemplo Serial1, y sustituir GSMserial.begin(9600); por Serial1.begin(9600); y así con el resto de los GSMserial.
Recuerda Rx de gsm va con Tx de arduino y Tx gsm con Rx arduino, ya sea soft o hardware serial
Saludos