Standalone + ETH W5100

Entao e se em vez do dispositivo la ligares uma carga tipo uma resistencia de 10 Ohms? Os 3.3V manteem-se?
O valor da resitencia é baixo para assim confirmares se a fonte consegue debitar cerca de 300 mA ( 3.3V/10 Ohms = 0.33mA)
Faz o teste rapido se a resistencia for pequena pois vai aquecer rapido!!
Claro que exixtem outros metodos , este pode até ser perigoso mas e rapido de despistar

A alimentação de entrada no LM317 é 9V (500mA).

500 mA pode ser pouco
Porque nao teres a certeza de quantos mA necessitas?
Ligas o modulo nos 3.3V do arduino com um amperimetro em serie e descobres o consumo dele