L'enchaînement des fonctions est correct et le bouton est bien lu à chaque itération de loop().
La lecture du bouton n'est pas conditionné par l'affichage du temps dans le moniteur série.
Par contre tu as placé des delay un peu partout et à mon sens ils ne sont pas indispensables.
Particulièrement il y en a un dans printTime() qui est inutile. Il ne fait que ralentir la réactivité du programme puisqu'il met 500mS de délai à chaque appel.
Il y en a un aussi au début de enregistrement_temps() pour gérer les rebonds. Là aussi utilité douteuse. Il serait préférable de mettre 50ms de délai et de tester le relâché du bouton à la fin de la fonction.