Der Mega2560 hat die I2C Pullups auf dem Board integriert, beim UNO muss man die selbst einsetzen. Kannst Du überprüfen, ob die 5k8 Widerstände wirklich zwischen Vcc und SDA bzw SCL sind?
Das Display und der RTC verwenden verschiedene Pins und verschiedene Hardwaremodule auf dem Prozessor, sind also logisch komplett getrennt. Wenn Du sonst nichts veränderst und die Komponenten einzeln funktionieren, ist ein Problem in der Stromversorgung nicht so unwahrscheinlich.
Wie hast Du die Tests gemacht? Hattest Du jeweils die Hardware mit beiden Geräten verbunden und nur den einen oder anderen Code benutzt oder war der Hardware-Setup immer anders? Falls Du das noch nicht versucht hast, lass die Hardware mal bei Vollausstattung und lade die einzelnen Sketches. Zeigt sich das gleiche Bild?
Das von Dir beschriebene Verhalten kann ich mir sonst nur mit ausgeschalteten Interrupts erklären, ich konnte allerdings in Deinem Code keine Hinweise darauf finden.