Nein.
Der ESP8266 ist ein eigenständiger Microcontroller.
Der braucht keinen UNO.
Du programmierst den ESP8266 mit der Arduino IDE.
Idealerweise läuft der Sketch so wie du ihn jetzt hast am ESP8266 auch.
Du musst wahrscheinlich die Pin-Definitionen anpassen.
Webserver am ESP8266 ist kein Problem.
Dafür gibt es Beispiele in der IDE.
Der Uno wandert in die Schachtel mit den anderen Bastelsachen und wird für diese Anwendung nicht mehr gebraucht.
Wenn noch was unklar wäre, hilft vieleicht auch das