como integrar la siguiente funcion?

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hola que tal?

bueno esto tratando de averiguar como relizar la siguiente integral

z9=x9r-x9

donde x9r =1
x9= valores que cambian con respecto del tiempo

si pueden darse cuenta es lo conocido como el Error en PID

bueno necesito integrar eso pero no encuentro la manera.
Necesito que el arduino haga la operacion.

Tambien necesito encontrar la derivada de 1/sen(f3);
donde f3=m(f5+k10z10)/(u1cx1*cx5)

todas esas variables tienen valores numericos que ya conozco pero solamente necesito que el programa realice la derivada es decir 1/sen(f3)

ya lo demas me puedo hacer cargo yo.
Ojala puedan ayudarme, de antemano gracias

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Si lo que quieres implementar en un PID, hay librerías que lo hacen. Sería mas conveniente que plantearlo como lo haces.
bien por lo que veo esas planteando un lazo de control. Tienes la planta identificada y todo lo demás pero lo que se suele hacer es

Aca tienes un ejemplo usando la librería PID_v1.h y aca el link.

#include <PID_v1.h>

//Define Variables we'll be connecting to
double Setpoint, Input, Output;

//Specify the links and initial tuning parameters
PID myPID(&Input, &Output, &Setpoint,2,5,1, DIRECT);

void setup()
{
  //initialize the variables we're linked to
  Input = analogRead(0);
  Setpoint = 100;

  //turn the PID on
  myPID.SetMode(AUTOMATIC);
}

void loop()
{
  Input = analogRead(0);
  myPID.Compute();
  analogWrite(3,Output);
}
S

Ahora si solo buscas los algoritmos
Integracion matemática
Regla de Simpson
Gaussian quadrature
Rectangle method
Trapezoidal rule
Boole's rule

Derivacion matemática
metodo de Euler
Método de Runge-Kutta
Método de euler