Hola, yo estoy teniendo el mismo problema y con la solución propuesta en la respuesta no hubo ningún cambio.
El primer error que encontré fue al tratar de abrir el archivo con el cliente conectado que daba error (a pesar que en el SETUP lo hacía bien sin ningún inconveniente). Revisando en varios lugares, por una extraña razón, si en vez de abrirlo una vez lo haces dos veces, el archivo se abre (cosa e mandinga). En tu caso sería:
File dataFile = SD.open("data.html"); //abro el archivo .txt donde almacene los datos
dataFile = SD.open("data.html"); //abro el archivo .txt donde almacene los datos
while (dataFile.available()) //mientras el archivo este disponible
Ahora el problema pasa a ser que en el momento de hacer la lectura del archivo y envío al cliente "client.write(dataFile.read())" se queda colgado ahí (el explorador recibe el encabezado pero no más) y nunca continúa la rutina.
Estoy asociando esto con los SS del SPI pero no le termino de encontrar la vuelta. Has podido avanzar algo en tu problema?