Welcher Elko für kurze Notstromversorgung?

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ELKO richtig anschließen wurde schon genannt.
Aufpassen, die Diode (die du brauchst) wird dir auch einen Spannungsfall bescheren.
Sobald die Spannung abfällt, sofort auch das backlight des LCD abschalten, dann erst ins EEPROM schreiben.
ich würde einfach mal mit 4700µF anfangen. Aber das hängt wohl eher davon ab, was du zu Hause hast... was kannst anbieten?
edit: hab grad einen UNO + PCF + LCD ohne Backlight ausprobiert, 4700µF ist knapp könnte aber reichen ... hab keinen Skech dafür geschrieben.

edit2:
ja geht verlässlich

#include <EEPROM.h>
const byte cols = 16;                  // columns/characters per row
const byte rows = 2;                   // how many rows
const byte addr = 0x27;                // set the LCD address to 0x3F or 0x27

#include <NoiascaLCD.h>      // use the adopted library downloaded from https://werner.rothschopf.net/202009_arduino_liquid_crystal_intro.htm  
#include <NoiascaHW/lcd_i2c.h>         // include the proper IO interface
LiquidCrystal_I2C lcd(addr, cols, rows);           // create lcd object - with support of special characters
//LiquidCrystal_I2C_base lcd(addr, cols, rows);           // create lcd object - without support of special characters

uint16_t powercycles = 0;

void setup()
{
  EEPROM.get(42, powercycles);
  powercycles++;
  Wire.begin();                        // start I2C library
  lcd.begin();                         // initialize the LCD
  lcd.backlight();                     // turn on backlight
  lcd.setCursor(0, 0);
  lcd.print("Save on noPower");
}

void checkbat()
{
  if (analogRead(A2) < 1000)
  {
    lcd.noBacklight();
    lcd.setCursor(0, 1);
    lcd.print("powerloss");
    EEPROM.put(42, powercycles);
    lcd.print(" - written");
    delay(5000);
  }
  else
  {
    lcd.backlight();
    lcd.setCursor(0, 1);
    lcd.print(millis());
    lcd.print("   ");
    lcd.print(powercycles);
  }
  
}

void loop()
{
  checkbat();
}

hab jetzt kleinere Werte ausprobiert: 220 reicht mit einer Shottky IN5819 nicht mehr. 330, 470µ, 1000µF haben funkioniert.

mit einer normalen N4007 Diode braucht es schon 1000µF, man sieht aber auch am LCD, dass die Spannung im Normalbetrieb dann zu gering wurde.

Also kurz gesagt, hängt von deiner Schaltung ab was du brauchst.