Mi correggo, tu hai un client quindi il webserver dovresti aggiungerlo.
Una seconda opzione è usare l'OTA per l'aggiornamento del firmware.
C'è una libreria inclusa che consente di farlo da un indirizzo http remoto.
Potresti riservare un folder del tuo webserver e quando necessario ci carichi il firmware aggiornato. Lato esp fai una verifica e quando c'è una nuova versione caricata procedi all'update.