Leyendo al respecto me encuentro que el HS-06 funciona bien desde 3.3 a 6V de modo que no puede ser tensión el problema.
Intenta alimentarlo directamente de los 3.3 o 5V. Tiene que funcionar. Si no trabaja bien usa softserial y habilita un par de pines diferentes de los usados en el USB.
Supongo que asi estas haciendo.
También encontré esto
Chipset: CSR
Bluetooth V2.0
Working voltage: 3.3V
Current: pairing 20~30mA, connected 8mA
Consume 8 mA conectado y hasta 30mA cuando esta comunicándose. Sigue siendo menos que los 40mA de que cada pin puede suministrar y menos de 200mA sumados todos.
He probado a poner a HIGH todos los pines y tratar de alimentar el HC-06 con cada uno de ellos, y en todos me ocurre lo mismo, en vacio dan 4,7V pero en carga caen a 2,4V...
Descarto lo obvio, lo probaste conectándolo a VCC y funciona tu sensor no?
Me suena muy raro que un HC-06 que no consume mas de lo que el pin puede entregar le provoque tal caida de tensión.
Eso ocurre cuando consume mas de lo nominal.
Intenta con mi sugerencia con el MOSFET.