Hello
J'avais des problèmes de stabilité alors j'ai laissé tombé à l'époque, et je viens de m'y remettre (il y a 5 jours).
Et ça marche maintenant très bien 
Vous utilisez quelle carte très exactement ? (une photo ou lien serait bien).
Pas mal d'entre elles doivent être alimentées en 5V, quoi qu'en disent plein de gens mal informés. C'est le composant SIM800L qui doit être alimenté précisemment en 4,2, mais la plupart des cartes de type "breakout" doivent être alimentées en 5V, et elles fournissent le 4.2 au SIM800.
Ensuite, truc important, il faut faire un reset hardware, après la mise sous tension, en mettant la broche reset à la masse, puis au +5.
ça peut marcher sans, mais c'est très aléatoire.
Sur la carte breakout que j'utilise (toujours celle là SIM800L GPRS transfer board micro SIM GSM Core board 4 frequency module TTL NEW | eBay), sans faire de reset je peux communiquer via les commandes AT, mais le module ne se connecte pas au réseau la plupart du temps (parfois, si, mais rarement, c'est super trompeur).
Après le reset, il faut attendre qques secondes, puis envoyer une commande AT toute seule. ça permet d'établir le protocole (vitesse, ...) et ça crachote quelques caractères à ignorer.
On peut ensuite envoyer le code PIN, on reçoit ensuite un truc qui dit que le code pin est ok, puis Call Ready puis SMS Ready.
La led qui clignotait toutes les secondes avant connexion clignote toutes les 3s une fois connectée.
Ensuite tout fonctionne bien, fiable, répétable, nickel. Je l'ai redémarré plein de fois, jamais d'échec de reconnexion ensuite, et j'envoie et reçois des sms
Maintenant je pilote le reset via une pin output de l'esp8256, et j'envoie les commande AT via SoftwareSerial, sans utiliser aucune lib GSM, comme ça je sais exactement ce que j'envoie/reçois.
Si vous utilisez directement un SIM800 tout seul, il faut sans doute un 4,2V assez précis, mais mon idée d'utiliser des diodes pour la chute de tension ne me parait plus aussi bonne, car elle dépend du courant beaucoup plus que je ne croyais (voir datasheet des diodes en question).